Лука Гугешашвили родился 29 сентября 1999 в Тбилиси, Грузия и начал карьеру в академии тбилисского «Динамо».

Голкипер привлек интерес польской «Ягеллонии», которая приобрела его в 2016. Для получения игрового опыта был арендован в команды из низших лиг.

В сезоне 2017-18 выступал за «Подляшье», где провел 16 матчей. В следующем сезоне перебрался в грузинский клуб «Дила», в составе которого насчитал 35 матчей, сохранил свои ворота в неприкосновенности в 15 из них и стал вратарем основы.

В 2019 попытал счастья в Испании во второй команде «Гранады», сыграв в 5 поединках. Вернулся в «Дилу» в2020-21. Сыграл там 54 матча, 19 раз отстоял на ноль и зарекомендовал себя одним из лучших молодых голкиперов страны.

В 2022 перешел в азербайджанский клуб «Карабах», сначала на правах аренды, а затем стал постоянным членом команды. В Азербайджане он провел три сезона, сыграл 44 матча, в 19 из которых не пропустил, и принял участие в еврокубках. За период выступлений в «Карабахе» завоевал три титула чемпиона страны и два Кубка.

В январе 2024 переехал в Грецию и стал игроком «Пансерраикоса», за который провел на сегодняшний день 25 поединков и продолжает впечатлять своей игрой.

На международном уровне Гугешашвили выступал за все молодежные и юношеские сборные Грузии, а сейчас является членом национальной команды с двумя сыгранными матчами.