Грег Тейлор родился 5 ноября 1997 года в Гриноке, Шотландия. Первые шаги в футболе он сделал в академии «Рейнджерс», а в 2014 году присоединился к «Килмарноку». За основную команду «Килмарнока» он дебютировал в 2016 году, и до 2019 года провёл 131 матч, забил 1 гол и отдал 10 голевых передач, став ключевым игроком команды.

В сентябре 2019 года Тейлор перешёл в «Селтик», где быстро закрепился на позиции левого защитника. За пять сезонов в составе «Кельтов» он сыграл 216 матчей, забил 9 голов и сделал 33 ассиста. Вместе с клубом он выиграл пять чемпионатов Шотландии, три Кубка и три Кубка шотландской лиги, став неотъемлемой частью самой успешной эпохи команды за последнее десятилетие.

На международной арене Тейлор провёл 14 матчей за национальную сборную Шотландии с 2019 года. Также он представлял страну на молодёжном уровне, включая сборные U20 и U21, и вошёл в состав команды на чемпионате Европы УЕФА 2020 года.