Родившийся 2 июля 1994 года в Тамале, Гана, Баба сделал свои первые футбольные шаги в местной команде Young Meteors, а в 2010 году подписал контракт с Dreams FC, где дебютировал на профессиональном уровне во втором дивизионе.

Яркие выступления молодого защитника принесли ему повышение в элитный дивизион и переход в Asante Kotoko на правах аренды. Его игра привлекла внимание скаутов топ-клубов, таких как Манчестер Сити и Арсенал, но его первым европейским клубом стал Гройтер Фюрт, предложивший ему ключевую роль в Бундеслиге. Несмотря на вылет команды, сам Баба произвёл отличное впечатление. Он остался ещё на сезон во второй Бундеслиге, а затем перешёл в Аугсбург.

После 31 матча и пяти голевых передач в Бундеслиге, Челси заплатила за него 14 миллионов евро. Он подписал пятилетний контракт и уже в сезоне 2015–16 провёл 23 игры, получив место в составе даже при высоком уровне конкуренции.

Следующий сезон он провёл в аренде в Шальке. Его возвращение в Бундеслигу было успешным, однако его настигла травма колена. До неё он успел сыграть в 19 матчах, забить гол и отдать два ассиста. Вернувшись в конце сезона 2017–18, он остался в клубе ещё на полгода, после чего отправился во Францию в Реймс.

В Реймсе за полгода он провёл 11 матчей, забил один гол и сделал одну голевую передачу. После возвращения в Лондон последовала новая аренда – в испанскую Мальорку. Но новая травма колена не позволила ему набрать форму, и он снова вернулся в Англию для восстановления.

В январе 2021 года Баба перешёл в ПАОК на правах аренды из Челси. За полсезона он провёл 17 матчей, забил один гол, отдал одну голевую передачу и выиграл Кубок Греции 2020–21.

После завершения аренды он ненадолго вернулся в Лондон, а затем перебрался в Рединг, где за два сезона в Чемпионшипе сыграл 49 матчей и сделал один ассист.

За сборную Ганы он дебютировал в 2014 году и до сих пор является её частью. В его активе 51 матч, 1 гол и 8 результативных передач. В 2015 году он дошёл до финала Кубка Африканских Наций.

В июле 2023 года Баба вернулся в ПАОК и стал одним из ключевых игроков команды, которая выиграла чемпионат Греции сезона 2023–24. Всего на его счету 107 матчей, 15 голов и 8 ассистов в чёрно-белой футболке.

С Днём Рождения, Баба!